Curiosidades matematicas

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Integracion por partes

La integración por partes (I.P.P. en abreviado) es un método para calcular una integral de una función cuyas primitivas se desconocen, y consiste en utilizar el teorema siguiente:

Sean u y v dos funciones reales de clase C¹ (es decir derivable y de derivada continua) definidas sobre el intervalo [a;b].
Entonces se da la relación:

donde el corchete es una escritura abrevada de una diferencia: 

, con f una función definida sobre [a;b].

Se puede suponer condiciones menos restrictivas sobre u y v para aplicar esta fórmula: que sean derivables y que sus derivadas sean integrables.

La prueba del teorema es como sigue: 

 luego integrando ambos miembros (que se pueden integrar según las condiciones del teorema) entre a y b:

Luego, recordando que una función - aquí uv - es una primitiva de su derivada, y aplicando la linealidad de la integral al miembro de la derecha, se obtiene:

lo que da la fórmula del teorema.

EJEMPLOS:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Integracion por sustitucion

Integración por partes

Se puede definir este método en cuatro pasos importantes:

1. Identificar la función a sustituir, es decir Identificar "u" (Usualmente se cometen mas errores en este paso).
2. Determinar el diferencial de "u" ("du").
3. Reescribir el integral ya sustituido.
4. Integrar.

EJEMPLOS RESUELTOS

1)

∫ (√1-4x)dx

U=1-4x

Du=-4dx

Dx=-1/4du

Sustituyendo

∫ (√1-4x)dx  

∫u ^1/2(-1/4du)

-1/4∫u ^1/2du

-1/4(2/3u^3/2+c)

-1/6u^3/2+c

-1/6*(1-4x)^3/2 +c

2)

∫ (x^2-4x+4) ^4/3

∫ (x-2) ^8/3dx

U=x-2

Du=dx

Sustituyendo

∫ (x^2-4x+4) ^4/3 =

∫u^8/3du=

3/11u^11/3+c

3/11(x-2)^11/3+c

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

¿porque y para que?

Las primeras preguntas que debe hacerse un estudiante cuando empieza a batallar con integrales son las siguientes:

– ¿Para qué sirven las integrales?a

– ¿Por qué debo aprender a integrar?

– ¿Qué puedo calcular con las integrales?

Es decir, cuestionarse su uso y el porqué de su insistencia durante los años de estudio.

2. HISTORIA

El primer uso de las integrales data del Antiguo Egipto (1800 a.C.) para el cálculo de volúmenes. Este concepto fundamental de las matemáticas fue perfilado y perfeccionado desde entonces por numerosos científicos entre los que destacaron Arquímedes, Fermat y Barrow. Sin embargo, los principales adelantos en integración llegaron a mediados del siglo XVII (1665) gracias a la elaboración del “Teorema fundamental del cálculo” de mano de dos brillantes matemáticos:  Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Este hallazgo no fue cooperativo, sino individual, hecho que generó vigorosas disputas por la autoría del mismo.

Finalmente Cauchy, Riemann y Lebesgue formalizaron el sistema actual de cálculo de integrales empleando el uso de límites.

3. ¿PARA QUÉ SE UTILIZAN LAS INTEGRALES?

Básicamente las integrales se usan cotidianamente en el cálculo de áreas, longitudes de curvas y volúmenes de cuerpos de revolución.

• Cálculo de áreas
• Cálculo de longitudes de curvas
• Cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución